Logarithme de l'unité imaginaire
Le logarithme de l'unité imaginaire i est la fonction à valeurs multiples
Ici, le logarithme naturel est écrit comme log.
Explication
Un nombre complexe w est appelé un logarithme de z, donc w = log z, si ew = z.
Nous parlons d'un logarithme parce qu'à z il y a infiniment beaucoup de nombres w qui agissent comme des logarithmes. Ils diffèrent les uns des autres par un multiple entier de 2πi. C'est parce que e2kπ i = 1. Quand nous écrivons z comme
z = r · eiφ
avec la valeur absolue r et l'argument φ, alors chacun des nombres
est un logarithme de z. Il est courant de définir l'argument φ de telle sorte que –π < φ ≤ π. La valeur du logarithme pour k = 0, est appelée valeur principale du logarithme.
L'unité imaginaire est un nombre complexe. Parce que z = i se trouve sur le cercle unité avec rayon r = 1 et un quart de cercle tourné φ = ½π. Le logarithme de i a donc une valeur principale de
log (i) = log (1) + ½πi = ½πi